Crypto Inverse-Power Options และ Fractional Volatility

1. Summary

Option ส่วนใหญ่บน Deribit ถูกตั้งราคาและ settle เป็นเหรียญ (BTC) ทั้งที่ underlying quote เป็น USD ซึ่งทำให้นักลงทุนฝั่ง USD แบกความเสี่ยงอัตราแลกเปลี่ยน crypto/USD เพิ่ม (pp.1-2, 10). แนวทางที่ได้ผลคือโมเดล volatility ที่มีทั้ง jump พร้อมกันในราคาและ volatility (co-jump) และ volatility ที่ "rough" (short-range dependence) แล้วตีราคาด้วย Fourier/characteristic function (pp.1-2, 12-13).

Important ผลทั้งหมดเป็น in-sample fit บน option 40 ตัวต่อวัน จำนวน 2 วัน (pp.21-22) ไม่มี out-of-sample test และไม่มี hedging backtest ดังนั้นข้ออ้างว่า "ใช้ price/hedge ได้จริง" ยังไม่ถูกพิสูจน์ด้วยหลักฐานในชุดข้อมูลนี้

2. Core concepts

2.1 Inverse option และ Quanto inverse option

Inverse call ของ Deribit จ่ายเป็นเหรียญ: payoff = (S_T - K)+ / S_T หน่วย BTC. เมื่อแปลงเป็น USD ที่ spot ตอนหมดอายุ จะได้ (S_T - K)+ เท่ากับ call ปกติ จึงเรียก "direct counterpart" (pp.10-11).

Quanto inverse option ใช้อัตราแปลงคงที่ R ที่กำหนดตอนออกสัญญาแทน spot ตอนหมดอายุ: payoff = R x (1 - K/S_T)+ หน่วย USD ตัดความเสี่ยงอัตราแลกเปลี่ยนตอน settle (p.10).

2.2 Inverse-power option

ยกราคาเป็นกำลัง p1 และ strike เป็นกำลัง p2 (p1, p2 >= 0) ทำให้ได้ leverage แบบไม่เชิงเส้นบนอัตรา crypto/USD (p.10):

call:  (1 - K^p2 / S_T^p1)+      put:  (K^p2 / S_T^p1 - 1)+     (หน่วยเป็นเหรียญ)

• Inverse option ธรรมดาคือ power option ที่มีกำลัง -1 (p.10, footnote 12)
• p2 ใช้ปรับ scale ของ K^p2 ให้เทียบกับราคายกกำลังได้ ไม่ใช่ตัวเพิ่ม risk exposure หลัก (p.11)
• ผลของ p1 ขึ้นกับว่าราคาเหรียญมากกว่าหรือน้อยกว่า 1: BTC/ETH ที่ p1 > 1 ขยาย exposure, p1 < 1 ลด exposure. เหรียญราคาต่ำกว่า 1 (เช่น Dogecoin, MATIC) ผลกลับด้าน. Stablecoin ที่ผูก 1:1 (เช่น Tether) ใช้กลไกนี้ไม่ได้ผล (p.11)
• กำลังเปลี่ยน "ความโค้ง" ของ payoff แต่ไม่เปลี่ยนลักษณะเว้า/นูนเฉพาะที่ จึงเป็นชั้น risk management เพิ่ม ไม่ใช่ payoff ชนิดใหม่เชิงโครงสร้าง (Figure 1, p.11)
• Quanto inverse-power call = R^p1 x inverse-power call จึงตีราคาแบบเดียวกัน ต่างกันที่ตัวคูณคงที่ (p.11)

2.3 Fractional stochastic volatility (FSV) และ business time

แนวคิดหลัก: แทนเวลาปฏิทินด้วย "business time" T_t = integral ของ activity rate A_s ตั้งแต่ 0 ถึง t. A วัดความเข้มข้นของ volatility clustering และเป็น proxy ของ instantaneous variance (p.5).

T_t = integral_0^t A_s ds                          (business time)
A_t = A_0 e^(-k t) + m (1 - e^(-k t)) + Y^(h)_t    (generalized OU, p.6-7)
Y^(h)_t = integral_0^t h(t,s) dY_s                 (Y = Levy subordinator)

เงื่อนไขของ kernel h (p.6): h(t+v, t) ~ v^(d-1) เมื่อ v เล็ก (ความ "rough" ใกล้ปัจจุบัน) และ ~ e^(-k v) เมื่อ v ใหญ่ (mean reversion) โดย k > 0 และ d อยู่ใน (1/2, 1).

ราคาภายใต้ Q (p.7):

S_t = S_0 exp(X_{T_t} + rho Y_t) / ( phi_X1(-i)^{T_t} * phi_Y1(-i rho)^t )

X คือ Levy process ของผลตอบแทน, Y คือ subordinator ของ activity, ตัวหารคือ compensator ที่ทำให้ discounted price เป็น martingale. rho > 0 ให้ inverse leverage (ราคา jump ขึ้นพร้อม volatility), rho < 0 ให้ leverage แบบตลาดหุ้น (p.7).

2.4 Base process สองแบบ

ใน ALJD, eta > 1 แปลว่า jump ขาลงรุนแรงกว่าขาขึ้นโดยเฉลี่ย (p.29). ใน GMRTS, theta < 0 สะท้อนผลตอบแทนเบ้ซ้าย (p.30).

3. How it works

3.1 Kernel ทั้งสามแบบ

ที่มา: pp.15-16. ทั้งสามชนิด reduce เป็น Riemann-Liouville kernel เมื่อ k -> 0 และเป็น OU แบบปกติ e^(-k(t-s)) เมื่อ d -> 1 (p.17). ที่ d -> 1 จึงได้ benchmark "SV with jumps" ธรรมดา (p.22).

Type-III ทำให้อินทิกรัลเชิงตัวเลขของ log phi_Y1 หาค่าปิด (closed form) ได้ ผ่าน Proposition 3 สำหรับ Levy model ที่ characteristic function เป็นสูตรปิด ส่วน kernel อื่นต้องคำนวณอินทิกรัลนี้เชิงตัวเลข และเป็นสาเหตุที่ type-III เร็วกว่า (pp.28, 33). การตีราคายังเหลืออินทิกรัล Fourier หนึ่งตัวในทุกกรณี (p.33)

3.2 สูตรตีราคา (Proposition 2, pp.12-13)

C_qip(t0) = R^p1 * [ 1/2 + (p1/pi) * Int_0^inf Re( K^(-i u p2/p1) * phi_logS_T(u) / (i p1 u - u^2) ) du ]
P_qip(t0) = C_qip(t0) + R^p1 * ( K^p2 * phi_logS_T(i p1) - 1 )

• phi_logS_T คือ conditional characteristic function ของ log S_T ที่เวลา t0
• phi(i p1) = E[S_T^(-p1)] คือ "inverse-power forward" ซึ่งไม่ใช่ inverse futures (p.12)
• ตั้ง p1 = p2 = 1 จะได้สูตร Quanto inverse และความซับซ้อนการคำนวณเท่ากับ direct option (p.13)
• สำหรับ call ใน calibrate ใช้สูตร parity-implied: C = S - K [1/2 + (1/pi) Int Re(K^(-iu) phi(u) / (u^2 + iu)) du] ซึ่งรับอาร์กิวเมนต์จริงเท่านั้น เร็วและเสถียรกว่าสูตร Bakshi-Madan และ Carr-Madan ตามที่รายงาน และต้องการแค่ E[S_T] < infinity (p.12)

3.3 Dynamic hedging (pp.13-14)

State variable ของ option คือ spot S และราคา variance swap VS(t, T) เท่านั้น (R คงที่) (p.13).

ถ้า X ไม่มี Brownian (sigma_X = 0, เช่น GMRTS) ความเสี่ยงจากพจน์ quadratic variation นี้หายไป (p.14). ส่วนที่ hedge ไม่ได้ประมาณได้ด้วย compound Poisson approximation แต่ต้องทำภายใต้ P และผ่านการเปลี่ยน characteristic (p.14, footnote 14).

3.4 ขั้นตอน calibrate (pp.22-23)

1. เลือก base process (ALJD/GMRTS) + kernel (I/II/III)
2. ตรึงพารามิเตอร์ที่ประเมินแยกทางสถิติ: GMRTS c_X=c_Y=1/2, n=2, a_Y=b_Y; (ทางเลือก) m=0.1
3. ตีราคา call ทุกคู่ (K, T) ด้วยสูตร parity-implied (3.1.8)
4. minimize  ARPE = sum |market - model| / market   (รวมทุก maturity และ strike พร้อมกัน)
5. ค้นหา: genetic algorithm ได้ candidate แล้ว pattern search ปรับต่อจนลู่เข้า
6. เปรียบเทียบกับ benchmark: Black-Scholes, Heston, SV-ALJD, SV-GMRTS

ไม่มีการรับประกัน global minimum; ผลการทดลองสรุปว่า local minimum ให้ผลดีพอสำหรับงานอุตสาหกรรม (p.23) ซึ่งเป็นข้อสรุปของแหล่งข้อมูลเอง ไม่มีการทดสอบแยก

4. Evidence

4.1 ชุดข้อมูล (pp.21-22)

ราคา market คือราคา last trade ของ call บน Deribit. Data set 2 ตัดข้อมูลที่ละเมิดเงื่อนไข monotonicity และ convexity ของ strike (strike arbitrage) ออกราว 10% (pp.21-22).

4.2 ARPE ของแต่ละโมเดล (%, pp.23-25)

ค่าต่ำกว่าดีกว่า. Data set 1 เรียงก่อน. ตัวหนาคือดีที่สุดของ data set นั้นตามตาราง.

เทียบ like-for-like (base process เดียวกัน) FSV ชนะ SV ทั้ง 4 คู่ (ALJD/GMRTS x 2 data set). แต่ FSV-GMRTS บน data set 2 (5.03-5.80) แพ้ SV-ALJD (4.92) ซึ่งเป็นคนละ base process (คำนวณจากตาราง pp.24-25).

ความคลาดเคลื่อนสูงสุดรายตัว (Figure 4, p.28): FSV ราว 15% (DS1) และ 29% (DS2) เทียบ Black-Scholes 100% และ 96%, Heston 77% และ 86%. FSV ทำได้ดีเป็นพิเศษกับ option ที่ strike สูง (มากกว่า 10,000 USD ใน DS1 และ 100,000 USD ใน DS2) ซึ่งเป็น deep out-of-the-money (p.28).

4.3 เวลา calibrate (วินาที, ผลรวมสองค่าในวงเล็บของตาราง)

ตารางต้นทางแสดงเวลาเป็น "(a + b)s" โดยไม่อธิบายว่า a กับ b คืออะไร จึงรายงานเป็นผลรวม.

Type-III เร็วกว่า kernel ที่เร็วรองลงมา 2.7-3.6 เท่า และเร็วกว่า kernel ที่ช้าที่สุด 3.9-6.1 เท่า (คำนวณจากตาราง pp.23-25). วัดบนเครื่องเดียว (Intel i7-12700H, MATLAB, p.23 footnote 17).

4.4 พารามิเตอร์ที่ calibrate ได้ บอกอะไร (pp.28-30)

Heston ที่ calibrate ได้มี volatility-of-volatility สูงถึงราว 1,500% (p.29, footnote 18).

4.5 Figures ที่เกี่ยวข้อง

4.6 Sensitivity ของ Quanto inverse-power (pp.30-31)

ตั้ง R = S_0, ใช้ strike ที่ใกล้ S_0 ที่สุด และ maturity ที่ยาวเป็นอันดับสอง ราคาใช้โมเดลที่ดีที่สุดสองโมเดล (FSV-GMRTS type-I ใน DS1, FSV-ALJD type-III ใน DS2) (p.31).

• เมื่อ p1 = p2 เปลี่ยนใน [0.8, 1.2]: put ไวกว่า call ทั้งสอง data set เหตุผลที่ให้คือ payoff ของ inverse put ไม่มีเพดานเมื่อ S -> 0 และกำลังขยายผลนั้น (p.31)
• เมื่อ p1 กับ p2 ต่างกันมาก (ช่วง 0.8-1.4): call ไวกว่า put (p.31)
• Surface ของราคาเทียบกำลังไม่นูนเนื่องจากลักษณะ inverse (p.31)

Note เหตุผลเรื่อง "put ไวกว่า" เป็นคำอธิบายที่เสนอ ไม่ได้ทดสอบแยกปัจจัย (p.31 ใช้คำว่า plausible explanation)

5. Facts, interpretation, advice

6. Risks and limits

Warning อย่านำพารามิเตอร์หรือตัวเลข ARPE ในหน้านี้ไปใช้ตั้งราคา, ตั้ง limit หรือ hedge จริงโดยไม่ทำ out-of-sample test และ hedging backtest ของตัวเองก่อน หลักฐานที่มีคือ fit ของ option 80 ตัวใน 2 วัน

6.1 ข้อจำกัดที่ระบุไว้ในแหล่งข้อมูล (pp.14, 34)

• โมเดลไม่สร้าง stochastic volatility-of-volatility แบบ rough (ที่พบในตลาดหุ้น). การเพิ่มต้องอินทิกรัลเชิงตัวเลขอีกสองตัว ทำให้ type-III ไม่ปิดสูตรอีกต่อไป
• ทางเลือก rough Heston พร้อม piecewise kernel เสีย volatility jump และ jump leverage effect (trade-off ที่ยังไม่ได้แก้)
• Jump และส่วน quadratic variation ต่อเนื่องบางส่วน hedge ไม่ได้ (p.14)

6.2 ข้อจำกัดจากการวิเคราะห์ (ไม่ได้ระบุไว้ในข้อความ ต้องตรวจสอบเอง)

6.3 ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย (คำแนะนำ ไม่ใช่เนื้อหาต้นทาง)

• ใช้ p1 > 1 กับเหรียญราคาต่ำกว่า 1 แล้วคาดว่า exposure เพิ่ม ผลจริงกลับด้าน (p.11)
• ใช้ power mechanism กับ stablecoin ที่ผูก 1:1 ซึ่งไม่มีผล (p.11)
• เปรียบเทียบ ARPE ข้ามคนละ data set หรือคนละ base process แล้วสรุป kernel ดีกว่า
• อ่าน rho > 0 เป็นข้อสรุปว่า "ราคาขึ้นทำให้ volatility ขึ้นเสมอ" ทั้งที่เป็นพารามิเตอร์ของ jump component เท่านั้น (p.29)

7. Checklist ก่อนนำไปใช้

สถานะ: 🔴 ยังไม่ทำ, 🟡 ทำบางส่วน, 🟢 ทำแล้ว, ⚪ ไม่เกี่ยวข้อง. ทุกข้อด้านล่างเป็นคำแนะนำเชิงวิเคราะห์ ไม่ใช่ขั้นตอนบังคับจากแหล่งข้อมูล.

8. Procedure: ตีราคา Quanto inverse-power call (คำแนะนำเชิงปฏิบัติ)

Prerequisite: ได้ characteristic function ของ log S_T ที่ t0 จากโมเดลที่ calibrate แล้ว, ค่า R, K, p1, p2.

Input : phi(u) = conditional char. function of log S_T,  R, K, p1, p2
Step 1: ตรวจว่า E[S_T^(-p1)] = phi(i*p1) จำกัด
Step 2: integrand(u) = Re( K^(-i*u*p2/p1) * phi(u) / (i*p1*u - u^2) )
Step 3: I = integrate integrand from 0 to infinity (quadrature, ระวังที่ u -> 0)
Step 4: C = R^p1 * ( 1/2 + (p1/pi) * I )
Step 5: P = C + R^p1 * ( K^p2 * phi(i*p1) - 1 )     (parity)
Output: C, P (USD)
Validate: p1 = p2 = 1 ต้องตรงกับสูตร Quanto inverse; R = 1, p1 = p2 = 1 เทียบ call ปกติ

Validation criteria (analysis): ผล put-call parity ต้องตรง, ราคา call ต้องไม่ติดลบ, และเพิ่ม K แล้วราคา call ต้องไม่เพิ่ม.

9. Key takeaways

• Inverse-power option เพิ่มชั้นปรับ exposure แบบไม่เชิงเส้นให้ inverse option แต่ผลของ p1 กลับด้านตามระดับราคาเหรียญเทียบ 1
• ตีราคาเป็นสูตร Fourier ที่รับแค่ characteristic function จึงใช้กับโมเดลอื่นได้ถ้ามี phi
• Hedge ได้เฉพาะส่วน delta และ vega; jump ยังเป็น risk ที่เหลือ
• Type-III kernel ให้ตัวเลขเร็วกว่าและ ARPE ไม่แย่กว่าในตาราง แต่หลักฐานจำกัดที่ 2 วัน
• ก่อนใช้งานจริงต้องมี out-of-sample และ hedging backtest

10. Glossary

11. Source mapping

[ASSUMPTION] ไฟล์ต้นทางไม่ระบุเลขเวอร์ชันหรือวันที่เผยแพร่ในข้อความที่สกัดได้ ค่า 2026_06_11 ในชื่อไฟล์ถือเป็นวันที่เก็บเข้า archive ไม่ใช่วันที่เผยแพร่.

หน้าที่เปิดดูเป็นภาพ: 11, 26-28, 30-32. หน้าที่ pipeline ระบุให้ตรวจเป็นภาพแต่ยังไม่ได้เปิด: 17 (Figure 2 เปรียบเทียบ kernel). Pipeline สรุปเนื้อหาผ่านขั้น summarise (1 chunk) ร่วมกับการอ่านไฟล์ section โดยตรงของ pp.1-7 (p.7 บางส่วน), 10-17, 21-25, 28-34.

หน้าที่ไม่ได้อ่านเนื้อหาละเอียด: pp.7-9 (2.2 time-changed processes), 18-21 (4.2 regulating kernels), 34-37 (references), 37-44 (proofs). เนื้อหาในหัวข้อที่เกี่ยวข้องมาจาก digest ของ pipeline ซึ่งเป็นการสรุปอัตโนมัติ ควรเทียบกับต้นทางหากจะนำสูตรในส่วนนั้นไปใช้.