Hedging Option บน Bitcoin: เลือก Delta, Delta-Gamma, Delta-Vega หรือ Minimum Variance

Summary

ผลทดสอบ hedge call option ที่ขายบน BTC ช่วง 1 เม.ย. 2019 ถึง 30 มิ.ย. 2020 (p.2-3, p.24):

• ถ้ามี option ตัวที่สองที่ซื้อขายคล่อง ให้ใช้ hedge Delta-Gamma และ Delta-Vega ลด tail risk ได้ชัดกว่า Delta อย่างเดียว และไม่เคยทำให้แย่ลงในการทดสอบ (p.19)
• Option อายุ 3 เดือนได้ประโยชน์สม่ำเสมอ ส่วนอายุ 1 เดือน ผลต่างระหว่างกลยุทธ์เล็ก และในบางช่วงไม่มีนัยสำคัญ (p.19, p.24)
• โมเดล stochastic volatility (SV) ให้ผลดีสม่ำเสมอ แม้เป็นโมเดลง่ายที่สุดในกลุ่ม โมเดลที่ใส่ jump สมจริงกว่าแต่ hedge ไม่ดีกว่า เพราะตลาดไม่ complete (p.19, p.24)
• Calibration ชี้ว่า BTC มี stochastic volatility สูง, jump นาน ๆ ครั้ง และมีสัญญาณ infinite activity (p.3, p.16-18)
• ข้อมูลมีแค่ 15 เดือน, ไม่รวมต้นทุนการเทรด, และ option ตัวที่สองถูกตีราคาจาก implied volatility surface ที่ interpolate ไม่ใช่ราคาที่ซื้อขายจริงทุกตัว (p.8, p.12-13)

ระดับหลักฐานที่ใช้ทั้งหน้า:

Note ไม่มีส่วน backtest กับราคาตลาดจริง ผลทั้งหมดมาจากข้อมูล simulate (ฉบับ working paper MPRA 20 พ.ย. 2021)

1. Core concepts

1.1 การ hedge option และ P&L ที่เหลือ

ผู้ขาย call รับความเสี่ยงเมื่อราคา underlying ขึ้น การ hedge คือถือ underlying (และ option อื่น) ในปริมาณที่ปรับทุกวัน เพื่อให้ P&L ของพอร์ตตอน option หมดอายุใกล้ศูนย์ (p.6, p.25-26). ในตลาด complete ที่โมเดลถูกต้อง P&L จะเป็นศูนย์พอดี แต่ในทางปฏิบัติไม่เป็นศูนย์ เพราะโมเดลไม่ครบ, ปรับรายวันไม่ใช่ต่อเนื่อง และ parameter ไม่แน่นอน (p.12).

1.2 Greeks ที่ใช้

(p.11) Delta-Gamma และ Delta-Vega ต้องใช้ option ตัวที่สอง C2 ที่ strike ต่างจาก option ที่ขาย และตีราคาจาก SVI surface (p.11)

1.3 Complete เทียบ incomplete market

• โมเดลที่ง่ายแต่ "ผิด" อาจ hedge ได้ดีกว่าโมเดลสมจริงแต่ incomplete (p.3-4, p.9)
• โมเดลที่ "misspecified" ในที่นี้คือมี parameter น้อยกว่าหรือต่างจาก SVCJ ซึ่งเป็นโมเดลที่ใช้สร้างข้อมูลจำลองฝั่ง parametric (p.4)
• 🟡 การจัด VG และ CGMY เป็น incomplete เป็นการตีความ: โมเดลที่มี jump และ infinite activity ยาก hedge และนิยมใช้ minimum variance (p.11)

1.4 กลยุทธ์ hedge 4 แบบ

สูตรตามที่พิมพ์ไว้ (✅ p.12, p.26):

MV:            (Pi0, xi*) = argmin  E_Q[ ( C_T - Pi0 - integral_0^T xi_1(u) dS(u) )^2 ]

Delta-Vega:    Lambda = (dC/dv) / (dC2/dv)
               Delta  = dC/dS - Lambda * dC2/dS

Delta-Gamma:   Lambda = (d2C/dS2) / (d2C2/dS2)
               Delta  = dC/dS - Lambda * dC2/dS

C คือ option ที่ขาย, C2 คือ option ตัวที่สอง, Λ คือจำนวน C2 ที่ถือ, Δ คือจำนวน underlying.

ข้อจำกัดว่ากลยุทธ์ไหนใช้กับโมเดลไหน (p.11-12):

• Delta และ Delta-Gamma ใช้กับทุกโมเดล
• Delta-Vega ใช้กับโมเดลกลุ่ม affine jump diffusion เท่านั้น (ไม่ใช้กับ VG, CGMY)
• MV ใช้เป็น hedge ของโมเดล SV, JD, SVJ, SVCJ, VG, CGMY ตาม Table 2 (p.12)

1.5 ตัวชี้วัดผล hedge

• Hedge สมบูรณ์ในตลาด complete ให้ π_rel = 0 (p.12)
• ⚪ สูตร ES ที่พิมพ์ใช้เครื่องหมาย > แต่ค่า ES5% ในตาราง 10-21 ส่วนใหญ่เป็นลบ ซึ่งอ่านสอดคล้องกับ "หางด้านขาดทุน" มากกว่า ต้องตีความเองเมื่อเทียบตัวเลข
• 🟡 แถวที่ติดป้าย π_rel ในตาราง 10-21 มีค่าราว 13 ถึง 102 และไม่ใช่ค่าเฉลี่ยของ π_rel (ช่วงค่าเทียบกับ Min/Max ไม่สอดคล้อง) จึงน่าจะเป็น ε ตามนิยามข้างบน ยังไม่ยืนยันจากตาราง

2. Methodology: สร้าง scenario, ตีราคา, hedge

2.1 ภาพรวมขั้นตอน

flowchart TD
    A[ราคา BTC และ IV จาก Deribit<br/>เม.ย. 2019 ถึง มิ.ย. 2020] --> B[แบ่ง 3 ช่วง<br/>bullish, calm, covid]
    B --> C[SVI surface<br/>ตีราคา option ทุกวัน]
    B --> D1[Scenario SVCJ<br/>parametric, ใต้ Q]
    B --> D2[Scenario GARCH-KDE<br/>semi-parametric, ใต้ P]
    C --> E[Calibrate 7 โมเดลทุกวัน<br/>FFT + Tikhonov]
    E --> F[Hedge รายวัน<br/>Delta, D-Gamma, D-Vega, MV]
    D1 --> F
    D2 --> F
    F --> G[วัด pi_rel, eps, ES5%, ES95%]

2.2 สามช่วงตลาด

• ความยาวแต่ละช่วงเกิน 3 เดือน เพราะจะ hedge option อายุ 1 และ 3 เดือน (p.5)
• วันที่ 12 มี.ค. 2020 ราคา BTC ลดเกือบ 50% ภายในวันเดียว ค่าต่ำสุดของ log return ในช่วง covid คือ -0.4647 (p.6)
• รูปราคา (Fig. 1, p.5) ตรวจเทียบแล้ว: bullish ขึ้นจากราว 4,000 ไปแตะราว 12,000 ถึง 13,000 กลางปี 2019, calm เคลื่อนในกรอบแคบกว่า, covid มีหลุมลึกช่วง มี.ค. 2020

2.3 Scenario สองแบบ

(p.5-8)

สมมติฐานของ SVCJ ที่ต้องรู้ (✅ p.7):

• ตั้ง ρ_j = 0 (correlation ระหว่าง jump) เพราะ jump เกิดนาน ๆ ครั้งจนประมาณค่ายาก
• ตั้ง risk premium = 0 ทำให้ µ = r และ P = Q
• จำลอง path ด้วย Euler-Maruyama

สูตร GARCH-KDE (✅ p.7-8):

z_t = r_t / sigma_t                      (de-garched residual)
f_h(z) = (1/(n h)) * sum K((z_t - z)/h)  (Gaussian kernel, h = 0.2 ในรูป)
S(T) = S(0) * exp( sum_{t=1..T} sigma_t * z_t )

2.4 SVI: ตีราคา option จาก implied volatility

ตลาด BTC option ช่วงนั้นยังบาง ราคาหลาย strike หรือหลาย maturity ไม่มีให้เห็น จึงปรับ SVI surface ทุกวันแล้ว interpolate (p.8):

w(k) = a + b * { rho*(k - m) + sqrt( (k - m)^2 + sigma^2 ) }      (raw SVI)
w = sigma_BS^2 * tau   ,   k = log(K / S0)

• ข้อจำกัดไม่ให้เกิด butterfly arbitrage ใช้เงื่อนไข non-linear ตอน calibrate (p.8)
• ข้อจำกัด calendar spread: ลงโทษ smile ที่ total variance ลดลงเมื่อ maturity ยาวขึ้น (p.8)
• Interpolate ระหว่าง maturity ใช้ convex combination ของราคา สูตร (7) (p.8)

2.5 โมเดลที่ใช้ hedge

ความหมายของ Y ใน CGMY (✅ p.10): Y < 0 jump มีจำนวนจำกัด, Y > 0 infinite activity, Y ใน (1, 2] เพิ่ม infinite variation, Y = 1 ลดรูปเป็น VG ตามที่พิมพ์ไว้ (⚪ ต้อง verify: ในนิยาม CGMY ทั่วไป VG คือ Y = 0 และข้อความ "Y < 0 จำนวน jump จำกัด, นอกนั้น infinite activity" ก็สอดคล้องกับ Y = 0 มากกว่า)

2.6 Calibration

• ใช้ FFT ตามวิธี Carr-Madan ตีราคา (p.10)
• ปรับบน implied volatility ไม่ใช่ราคา option เพื่อตัดผลของเวลา (p.11)
• ใส่ Tikhonov L2 penalty กัน parameter สุดโต่ง ยอมรับ bias เล็กน้อย (p.10-11)
• ตัด option ที่ลึก ITM หรือ OTM: เก็บเฉพาะที่ 0.25 < |Δ| < 0.75 (เกณฑ์ ∆25) (p.11)
• Optimizer: Sequential Least Squares Programming (p.11)
• ⚪ ข้อความในหน้า 11 บอกว่า simplex-based algorithm เหมาะกว่า local gradient-based เพราะ objective อาจมีหลาย local minimum แต่ optimizer ที่ใช้จริงคือ SLSQP ซึ่งเป็นแบบ gradient-based ข้อความสองส่วนขัดกัน

3. Evidence: ผลทดสอบ

3.1 ราคา option เริ่มต้น (ATM)

(Table 3, p.13)

3.2 สิ่งที่ calibration บอก

• การตีความ (🟡): jump intensity ต่ำ ทำให้ SVJ และ SVCJ ให้ parameter ใกล้ SV จึงให้ผล hedge ใกล้ SV (สอดคล้องกับ p.19)
• ค่า σ_BS รายช่วง (Table 8, p.16): bullish เฉลี่ย 0.84, calm 0.68, stressed 0.78
• ความเข้ากันของโมเดล: RMSE ลดลงเมื่อโมเดลซับซ้อนขึ้น BS สูงสุด SVCJ ต่ำสุด (p.15)
• ⚪ Calibration ใช้ mid implied volatility ไม่คิด bid-ask spread และ stale quote ถือว่าเป็นประเด็นเล็กและไม่แก้ (p.15)

3.3 Scenario ที่ได้

• ข้อมูล GARCH-KDE: residual ที่ de-garch แล้วมีรูปใกล้สมมาตร และค่าเฉลี่ยใกล้ศูนย์ ส่วนที่เบี่ยงมาจากการเคลื่อนไหวจริงของตลาด (Table 4, p.13)
• SVCJ: ขนาด jump ที่ calibrate ได้ใหญ่บางช่วง ทำให้ path สุดโต่งมาก เช่น ราคาสูงสุด 41,464 ในช่วง covid ที่ 1 เดือน และ 118,249 ในช่วง calm ที่ 3 เดือน (Table 22, p.28) ถือว่าการเคลื่อนไหวระดับนี้ "entirely implausible" (p.15)
• 🟡 ข้อเท็จจริงนี้สำคัญ: SVCJ ใช้เป็นตลาดทดสอบ แต่ tail ของมันกว้างกว่าที่ BTC เคยเกิดจริง ผลของกลยุทธ์ที่วัดที่ tail ใต้ SVCJ จึงหนักกว่าโลกจริง

4. ผล hedge

4.1 วิธีทดสอบ

• ขาย ATM call ตอนต้นแต่ละช่วง อายุ 1 และ 3 เดือน (Table 3) hedge รายวัน (p.19)
• แต่ละโมเดลเลือกกลยุทธ์ที่ดีที่สุดโดยดูจาก ES5% ต่ำสุด (p.19)
• รายงาน: ค่ากลาง q50 ของ π_rel, hedge error, ES5%, ES95%, และค่าสุดขีด (Table 10-21)

4.2 สามข้อสรุปหลัก (✅ p.19)

1. ใช้หลาย instrument (Delta-Gamma, Delta-Vega) ลด tail risk ได้มากเทียบกับ Delta อย่างเดียว ข้อยกเว้น: ช่วง calm และ covid ของ GARCH-KDE อายุ 1 เดือน และช่วง calm ของ GARCH-KDE อายุ 3 เดือน ซึ่งไม่ดีขึ้นอย่างมีนัยสำคัญ ไม่มีกรณีที่แย่ลง
2. Option อายุสั้น: กลยุทธ์ที่ดีที่สุดไม่ต่างกันมากระหว่างโมเดล ข้อยกเว้นเดียวคือ VG และ CGMY แย่ในช่วง calm ภายใต้ SVCJ
3. Option อายุยาว: โมเดล stochastic volatility ให้ผลดีสม่ำเสมอ SV (ซึ่งง่ายที่สุด) ไม่แพ้ และบางกรณีดีที่สุด ส่วน Delta-Vega ของ SV เป็นกลยุทธ์ replicating ตาม Kurpiel และ Roncalli (1999)

4.3 ES5% ของ Delta (BS) เทียบกับกลยุทธ์ที่ดีที่สุดในแต่ละกรณี

ตัวเลขดึงจาก Table 10-21 (p.21, p.23) ES5% ยิ่งติดลบมาก ยิ่งขาดทุนหนักในหาง "ดีที่สุด" หมายถึงค่าที่ใกล้ศูนย์ที่สุดในคอลัมน์ที่ตารางแสดง (🟡 เกณฑ์ "ใกล้ศูนย์สุด" เป็นการตีความ โดยอิงว่ากลยุทธ์ที่ดีที่สุดคัดด้วย ES5%)

ข้อสังเกต (🟡 ตีความจากตาราง):

• ใน 3 เดือน SVCJ calm, SVCJ covid และ GARCH-KDE covid ES5% ลดลงมากกว่าครึ่งเมื่อเปลี่ยนจาก Delta BS เป็นกลยุทธ์ที่ดีที่สุด (54%, 57%, 55%) ส่วน SVCJ bullish ลดลง 44%
• Delta-Gamma ของ BS (โมเดลง่ายที่สุด) เป็นที่ดีที่สุดใน 2 จาก 11 แถวข้างบน และใกล้ที่สุดอีกหลายแถว บอกว่าการมี option ตัวที่สองสำคัญกว่าการเลือกโมเดล
• 1 เดือน GARCH-KDE calm ผลต่างน้อยมาก (-0.15 ถึง -0.20) เกือบไม่มีประโยชน์จากการซับซ้อนขึ้น
• ⚪ ตาราง 18 (3 เดือน GARCH-KDE calm) ค่า ES5% เป็นบวกทุกคอลัมน์ (0.15 ถึง 0.20) จึงเทียบด้วยเกณฑ์ข้างบนไม่ได้ และถูกข้ามในตาราง

4.4 รูป boxplot (Fig. 7 และ 8)

ตรวจจากภาพ p.20 และ p.22 (ไม่อ่านค่าตัวเลขจากรูป):

• 1 เดือน (Fig. 7): กล่อง interquartile ของทุกกลยุทธ์ใกล้เคียงกัน ความต่างเห็นชัดที่ BS Delta ใต้ SVCJ calm และ covid ซึ่งหางซ้ายยาวกว่า
• 3 เดือน (Fig. 8): กล่องและหนวดของ BS Delta ต่างจากกลยุทธ์อื่นชัดใต้ SVCJ ทุกช่วง และใต้ GARCH-KDE bullish กับ covid ส่วน GARCH-KDE calm แทบไม่ต่างกัน
• แกนตั้งเรียง Delta ของ BS ไว้ล่างสุดเป็นฐานเปรียบเทียบ ค่า π_rel ถูกตัดที่ q5% และ q95% (ตามคำอธิบายรูป) จึงไม่เห็นค่าสุดขีด

5. Methods and practical usage

5.1 ใช้เมื่อไร

5.2 ลำดับขั้นการทำงาน

Prerequisites: ข้อมูล implied volatility ราย strike และ maturity, ราคา underlying รายวัน, ที่ซื้อขาย option ตัวที่สองได้จริง

1. ปรับ SVI smile ของแต่ละ maturity ทุกวัน ใส่เงื่อนไขกัน butterfly และ calendar arbitrage (p.8)
2. กรอง option ด้วยเกณฑ์ 0.25 < |Δ| < 0.75 และตัดตัวที่ไม่มี volume (p.11, p.13)
3. Calibrate โมเดลบน implied volatility ด้วย FFT และ Tikhonov penalty (p.10-11)
4. คำนวณ Δ, Γ, V ของ option ที่ขายและของ C2 จากโมเดลที่ calibrate แล้ว
5. คำนวณ Λ และ Δ ตามสูตรใน 1.4 แล้วปรับพอร์ตรายวัน (p.26)
6. วัดผลด้วย ε และ ES5% เทียบกับ Delta ของ BS

Validation (🟡 suggested practice, ไม่ใช่ข้อเท็จจริงจากข้อมูล): เทียบกับ Delta BS เป็น baseline เสมอ เพราะผลทดสอบแสดงว่าเป็นกลยุทธ์ที่ต้องเอาชนะ

6. Risks, limitations, common mistakes

Warning ผลทั้งหมดมาจากข้อมูล simulate ใต้ 2 วิธี ไม่ใช่ P&L จากการ hedge จริง การนำไปตัดสินใจใช้เงินจริงต้อง backtest เองกับต้นทุนและ bid-ask spread ก่อน

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย (🟡):

• เลือกโมเดลสมจริงกว่า (SVCJ, CGMY) แล้วคาดว่า hedge ดีกว่า ผลทดสอบแสดงว่าไม่จริงเพราะ incomplete
• คิดว่า Gamma หรือ Vega hedge ช่วยกับ option อายุสั้นทุกครั้ง ผลช่วง calm และ covid ของ GARCH-KDE 1 เดือนไม่ดีขึ้น
• ตีความค่า ES จากตารางโดยไม่ดูว่าเป็นหางด้านไหน (ดู 1.5)

7. Critical analysis

ความไม่สอดคล้องใน typesetting ที่พบ (ไม่กระทบข้อสรุป) ⚪:

• Table 2 (p.12) คอลัมน์ CGMY ใช้ ∆-Γ ของ VG ซ้ำ น่าจะพิมพ์พลาด
• เนื้อหา A.3 (p.26) หัวข้อ "Delta-Gamma" แต่อธิบายสูตร Delta-Vega, สมการ (23) ใช้ C1 ส่วนสมการ (24) ใช้ C2
• ตาราง 21 (p.23) ค่า πrel ตัวหนึ่งถูกตัด "48." และตาราง 12 หัวคอลัมน์ไม่ครบ
• หมายเหตุ Table 6 ถูกอ้างเป็น "Appendix Table 6" ใน p.14 แต่ตารางอยู่ในเนื้อหาหลัก p.15

8. Checklist ก่อนนำไปใช้

9. Key takeaways

• เพิ่ม option ตัวที่สองเมื่อ option ที่ขายอายุ 3 เดือนขึ้นไป ได้ประโยชน์มากกว่าการเลือกโมเดลหรู
• โมเดลง่ายที่ complete (BS Delta-Gamma, SV Delta-Vega) ไม่แพ้โมเดลที่ใส่ jump
• Option 1 เดือน Delta อย่างเดียวยังพอใช้ในหลายช่วงตลาด
• ตัวเลขทั้งหมดเป็นผล simulate ต้อง backtest ใหม่ก่อนใช้จริง

10. Glossary

11. Sources และ source mapping

ข้อมูลอ้างอิง (สถาบันและฐานข้อมูล):

• Munich Personal RePEc Archive (MPRA), เลขที่ 110985, 20 พฤศจิกายน 2021 ฉบับ working paper (p.1)
• สถาบันที่เกี่ยวข้อง: Humboldt-Universität zu Berlin และ Hochschule für Wirtschaft und Recht Berlin (p.1-2)
• ข้อมูลราคา BTC และ quote มาจาก Tardis.dev และ Blockchain Research Center, Humboldt-Universität zu Berlin; ตลาด option ที่อ้างถึงคือ Deribit และ CME (p.3-4, p.24-25)

แผนที่หน้า PDF กับหัวข้อ:

ความครอบคลุม: ประมวลผลครบ 39 หน้าโดยสกัดข้อความ; ตรวจภาพหน้า 5, 14, 20, 22 เท่านั้น หน้ารูปที่เหลือ (pp.1, 4, 6, 13, 15-18, 21, 23-24, 28-36) ใช้ข้อความที่สกัดและ caption ไม่ได้ตรวจภาพ ส่วนหน้า 37-39 เป็นรายการอ้างอิงและไม่ถูกสรุปรายตัว